단순하고 소박한 통계와 SPSS

수학용어로서 a를 양의 상수, x를 모든 실수값을 취하는 변수라 할 때 y＝a^x 로 주어진 함수를 지수함수라고 한다. 이때 이 함수를 a를 밑(base)으로 하는 지수함수라 한다. 예를 들면, 처음의 세균의 수를 1이라 할 때, 1시간마다 이것이 2배로 늘어난다고 하면, 2시간에는 2²으로서 4, 3시간에는 2³으로 8, 4시간에는 2⁴으로 16,…으로 불어난다.

(1) 정의역은 실수 전체의 집합 R이고 치역은 {y|y>o}이다. 그래프는 x축의 위쪽에 존재한다.
(2) 그래프는 정점 (0,1)을 지난다.
(3) 그래프는 직선 y=0(x축)을 점근선으로 한다.
(4) a>1일때 단조 증가, 0<a<1일 때 단조 감소한다.

a를 1이 아닌 양의 상수라고 할 때, 두 변수 x와 y 사이에 a^y=x인 관계가 있으면 y는 a를 밑으로 하는 x의 로그함수라 하고, y＝log_a x로 나타낸다. 로그함수는 지수함수  y＝a^x(a＞0, a≠1)의 역함수이며, 0＜x＜∞에서 연속이고 좁은 뜻의  단조함수 즉, a＞1이면 단조 증가함수, 1＞a＞0이면 단조감소함수이다(1) 정의역은 {x|x>o}이고 치역은 실수 전체의 집합 R이다. 그래프는 y축의 오른쪽쪽에 존재한다.
(2) 그래프는 정점 (0,1)을 지난다.
(3) 그래프는 직선 x=0(y축)을 점근선으로 한다.
(4) a>1일때 단조 증가, 0<a<1일 때 단조 감소한다.

x와 y가 양수이고 a가 1이 아닌 양수라는 조건에서 ,x와 y 사이에 y = a^x라는 관계가 있으면 'x는 a를 밑으로 하는 y의 로그'라고 표현한다. 또 y＝log_ax를 x,y 사이의 함수관계로 볼 때 y를 x의 로그함수라고 한다.

예를 들어 예를 들어 10을 밑수로 하는 1000의 로그는 3이다. 3은 10을 몇 번 거듭제곱해야 1000이 되는지에 대한 값이다. 즉 10*10*10=1000인 셈이다. 밑수 2는 32에 대한 로그 값이 5가 된다. 2가 거듭제곱하여 32를 얻으려면 5번을 곱해야 하기 때문이다. 2*2*2*2*2=32 로그로서 표현하면 10³ = 1000은 log₁₀1000  = 3이 되며, 2⁵ = 32은 log₂32 = 5이 된다.

다양한 로그 곡선. 붉은 색은 밑이 e, 초록색은 밑이 10, 보라색은 밑이 1.7이다. 밑 값에 상관없이 모든 로그 곡선은 (1, 0)을 지난다.

og₁₀1000과 같이 10을 밑으로 하는 로그는 상용로그라고 하고 흔히 밑 10을 생략하여 logN으로 나타낸다. logN=n+α의 모양으로 나타내는데 여기서 n을 지표라고 하고 α를 가수라고 한다. α는 0 이상이거나 1 미만의 수이다.

어떤 수 x를 제곱하여 a가 되었을 때에, x를 a의 제곱근이라고 한다. 실수 a와 자연수 n에 대하여 xⁿ＝a를 만족시키는 x가 존재할 때, x를 a의 n제곱근이라 하고, n＝2일 경우를 제곱근이라고 한다. 예를 들어, 3² = ( − 3) ² = 9이므로 9의 제곱근은 3과 − 3의 두 개이고 양의 실수로서 a의 n제곱근이 되는 것을 ⁿ√a 으로 나타낸다. √ 를 근호(根號) 또는 루트라 하며, 근호의 왼쪽 어깨에 쓴 자연수 n을 근지수(根指數)라고 한다. 제곱근의 경우는 근지수를 생략한다.

또, a의 제곱근의 범위는, a＞0이면 절대값이 같은 양·음의 두 수가 존재하며, 그 중 양인 것을 √a , 음인 것을 －√a 로 나타낸다. 즉, a의 제곱근은 ±√a 이다. a＝0이면 a의 제곱근은 0뿐이다. a＜0일 때에는 a의 제곱근은 2개 있지만, 모두 허수(虛數)이다. 일반적으로 a≥0일 때 √a ≥0이므로, 임의의 실수(實數) a에 대하여 다음 식이 성립한다.

√a 를 구하는 것을 제곱근풀이라고 한다. 제곱근풀이법은 아르키메데스의 저서에 나와 있으며, 피타고라스파(派)는 제곱근이 유리수(有理數)가 되지 않는 경우를 발견하여, 수학사상 최초로 무리수(無理數)를 발견했다. 오늘날의 제곱근풀이법은 16세기에 발견된 것이다.

양의 실수의 제곱근은 실수이지만, 음의 실수의 제곱근은 실수가 아니다. 따라서 음의 실수의 제곱근을 다루기 위해 허수와 복소수의 개념이 생겨났다. √2는 처음으로 알려진 무리수이며, 피타고라스의 제자 히파수스에 의해 발견되었다. 제곱근 기호는 16세기에 처음으로 사용되었다. 이것은 소문자 r의 모양을 따온 것으로` "뿌리" 혹은 "근"을 의미하는 radix라는 단어에서 가져온 것이다.

제곱근 함수 √x는 음이 아닌 실수의 집합 에서 자기 자신으로 가는 함수이다. x가 유리수일 때, √x는 대수적 수가 된다. 제곱근 함수는 다음과 같은 성질이 성립한다. 따라서 함수 f(x)=√x의 그래프는 다음과 같다.

제곱근 함수는 다음과 같은 식이 성립한다.

▪ 음이 아닌 두 실수 x와 y에 대하여 이다.
▪ 음이 아닌 실수 x에 대하여 이다.
▪ 일반적으로 실수 x에 대하여 이다.
▪ 자연수 x에 대해 는 자연수이거나 무리수이다.

수학에 담을 쌓고 지내다 통계를 배우려도 보면 너무 오랜만에 접하는 수학 용어에 낯설어하는 경우가 자주 있습니다. 저의 경우에 대표적인 경우가 거듭제곱과 지수라는 말이었습니다. 너무 쉬운 내용이라고 생각할 수도 있겠지만 통계와 분석에서는 매우 기본적이고 중요한 의미를 담고 있습니다.

숫자가 그 스스로를 곱하는 경우를 두고 거듭제곱이라고 부릅니다. 거듭제곱을 하는 수(밑수)의 오른쪽 어깨에는 작은 크기로 또다른 숫자가 올라 앉아 있는데 이 숫자를 수학에서는 지수(exponent)라고 부르는데 멱지수라고도 부릅니다. 예를 들어 7³은 7을 3번 곱하라는 뜻이고 여기에서 3을 지수라고 하는 것입니다.

지수는 거듭제곱을 하는 요소인 숫자를 몇번 곱할 것인지는 지시하는 기능을 합니다.

자연수 n에 대해, 거듭제곱 aⁿ은 다음과 같이 정의됩니다. 편하게는 "a의 n거듭제곱"이라고 부르면 됩니다.

지수가 1인 경우과 0인 경우에 대해 조금 주의해야 합니다.

     7¹=7
     7⁰=1
       
하지만 일반적으로 밑수가 같다면 다음과 같은 법칙이 적용됩니다. 지금 설명하는 내용들이 지수의 법칙이라고 포괄됩니다.        

 

 

다음과 같은 정의도 가능하다. 물론 밑수는 같아야 적용될 수 있는 법칙입니다.

밑수와 지수를 모두 포함하여 거듭제곱을 하거나 밑수가 다른 거듭제곱들의 경우에 적용되는 지수의 법칙은 다음과 같습니다.