단순하고 소박한 통계와 SPSS

호기심이 많은 청소년들에게 세상과 자연의 현상들이 온통 궁금한 것 투성이입니다. 사회조사 또는 연구 작업은 온통 궁금한 것들에 질문을 던지는 것에서 시작합니다. 하지만 질문을 가지로 끝까지 밀고 나가려면 목적을 분명히 해야 하고 그것에 따라서 방법들을 기획하고 설계해야 합니다. 조사 방법에 대한 기획과 설계 내용은 연구 계획서라는 문서로 작성을 해두어야 질문 탐구의 중간에 길을 잃지 않을 것입니다.

연구 계획서는 질문 탐구 프로젝트의 마스터 플랜과도 같아서 여기까지 잘 도달하면 이제 실제 조사 작업과 통계 처리라는 실무적 과정이 진행됩니다. 모든 스토리가 마무리가 있듯이 질문 탐구 프로젝트도 보고서나 연구 논문 등으로 결과와 결론을 제시합니다. 질문 탐구 프로젝트의 과정은 실행하는 사람들에 따라 다소 차이가 있지만 대개 다음과 같은 과정으로 진행됩니다.

어떤 수 x를 제곱하여 a가 되었을 때에, x를 a의 제곱근이라고 한다. 실수 a와 자연수 n에 대하여 xⁿ＝a를 만족시키는 x가 존재할 때, x를 a의 n제곱근이라 하고, n＝2일 경우를 제곱근이라고 한다. 예를 들어, 3² = ( − 3) ² = 9이므로 9의 제곱근은 3과 − 3의 두 개이고 양의 실수로서 a의 n제곱근이 되는 것을 ⁿ√a 으로 나타낸다. √ 를 근호(根號) 또는 루트라 하며, 근호의 왼쪽 어깨에 쓴 자연수 n을 근지수(根指數)라고 한다. 제곱근의 경우는 근지수를 생략한다.

또, a의 제곱근의 범위는, a＞0이면 절대값이 같은 양·음의 두 수가 존재하며, 그 중 양인 것을 √a , 음인 것을 －√a 로 나타낸다. 즉, a의 제곱근은 ±√a 이다. a＝0이면 a의 제곱근은 0뿐이다. a＜0일 때에는 a의 제곱근은 2개 있지만, 모두 허수(虛數)이다. 일반적으로 a≥0일 때 √a ≥0이므로, 임의의 실수(實數) a에 대하여 다음 식이 성립한다.

√a 를 구하는 것을 제곱근풀이라고 한다. 제곱근풀이법은 아르키메데스의 저서에 나와 있으며, 피타고라스파(派)는 제곱근이 유리수(有理數)가 되지 않는 경우를 발견하여, 수학사상 최초로 무리수(無理數)를 발견했다. 오늘날의 제곱근풀이법은 16세기에 발견된 것이다.

양의 실수의 제곱근은 실수이지만, 음의 실수의 제곱근은 실수가 아니다. 따라서 음의 실수의 제곱근을 다루기 위해 허수와 복소수의 개념이 생겨났다. √2는 처음으로 알려진 무리수이며, 피타고라스의 제자 히파수스에 의해 발견되었다. 제곱근 기호는 16세기에 처음으로 사용되었다. 이것은 소문자 r의 모양을 따온 것으로` "뿌리" 혹은 "근"을 의미하는 radix라는 단어에서 가져온 것이다.

제곱근 함수 √x는 음이 아닌 실수의 집합 에서 자기 자신으로 가는 함수이다. x가 유리수일 때, √x는 대수적 수가 된다. 제곱근 함수는 다음과 같은 성질이 성립한다. 따라서 함수 f(x)=√x의 그래프는 다음과 같다.

제곱근 함수는 다음과 같은 식이 성립한다.

▪ 음이 아닌 두 실수 x와 y에 대하여 이다.
▪ 음이 아닌 실수 x에 대하여 이다.
▪ 일반적으로 실수 x에 대하여 이다.
▪ 자연수 x에 대해 는 자연수이거나 무리수이다.

수학에 담을 쌓고 지내다 통계를 배우려도 보면 너무 오랜만에 접하는 수학 용어에 낯설어하는 경우가 자주 있습니다. 저의 경우에 대표적인 경우가 거듭제곱과 지수라는 말이었습니다. 너무 쉬운 내용이라고 생각할 수도 있겠지만 통계와 분석에서는 매우 기본적이고 중요한 의미를 담고 있습니다.

숫자가 그 스스로를 곱하는 경우를 두고 거듭제곱이라고 부릅니다. 거듭제곱을 하는 수(밑수)의 오른쪽 어깨에는 작은 크기로 또다른 숫자가 올라 앉아 있는데 이 숫자를 수학에서는 지수(exponent)라고 부르는데 멱지수라고도 부릅니다. 예를 들어 7³은 7을 3번 곱하라는 뜻이고 여기에서 3을 지수라고 하는 것입니다.

지수는 거듭제곱을 하는 요소인 숫자를 몇번 곱할 것인지는 지시하는 기능을 합니다.

자연수 n에 대해, 거듭제곱 aⁿ은 다음과 같이 정의됩니다. 편하게는 "a의 n거듭제곱"이라고 부르면 됩니다.

지수가 1인 경우과 0인 경우에 대해 조금 주의해야 합니다.

     7¹=7
     7⁰=1
       
하지만 일반적으로 밑수가 같다면 다음과 같은 법칙이 적용됩니다. 지금 설명하는 내용들이 지수의 법칙이라고 포괄됩니다.        

 

 

다음과 같은 정의도 가능하다. 물론 밑수는 같아야 적용될 수 있는 법칙입니다.

밑수와 지수를 모두 포함하여 거듭제곱을 하거나 밑수가 다른 거듭제곱들의 경우에 적용되는 지수의 법칙은 다음과 같습니다.

상관 관계를 나타내는 그래프의 데이터 들은 상관 값으로 변수들의 관계를 나타낼 수 있습니다. 데이터 점들의 중앙을 선분으로 나타내면 ② 선분을 통해 관계를 보기 편하게 표시할 수 있으며 중심에 대한 경향을 보여주고 ③ 변수를 예측하는 기능으로도 사용될 수 있다. 예를 들어 대학생들의 토익(TOEIC) 점수와 평균 학점과의 관계를 그래프와 데이터 점들을 통해 나타낼 수 있다고 가정합니다.

데이터 점들의 집합에 가장 알맞은 선분을 찾는 과제가 중요합니다. 데이터 점들의 집합을 위한 최적의 선분을 발견하는 통계적 기술을 회귀(regression)라고 하며 그 결과 나타난 선분을 회귀 선분(regression line)이라고 부릅니다.

데이터를 모으는 작업은 관찰한 것을 측정하는 과정을 요구합니다. 사건에 대한 질적(qualitative) 측정을 범주로 구분하고 사건에 대한 양적(quantitative) 측정을 크기로 나타내는 작업이 진행됩니다. 측정을 위해서는 ‘치수 또는 각도의 눈금 표시가 있는 측정용 기구’를 뜻하는 척도(scale)가 있어야 합니다. 통계에서 사용되는 척도는 몇 가지가 있어서 척도들의 특징을 구분하는 것이 매우 중요합니다. 왜냐하면 온도를 측정하는 척도를 가지고 거리를 측정할 수 없듯이, 어떤 데이터에서 적합했던 척도라도 다른 데이터에서는 맞지 않을 수 있기 때문입니다. 

명목 척도(nominal scale)

명목 척도는 관찰들을 분류하여 서로 다른 범주로 나누어 놓습니다. 따라서 명목 척도는 서로 다른 이름들을 지닌 범주의 집합으로 구성됩니다. 명목 척도에서 측정들은 분류되지만 관찰들 사이에 어떠한 양적인(quantitative) 구별을 하지 않습니다. 두 개의 범주로 구분된 개인의 성별, 판매 또는 교수나 기술자 또는 무역과 같은 직업 표시. 결국 명목 척도는 개인들간에 질적인(qualitative) 차이들로 구성되지만 개인들간의 어떠한 양적인 정보에 대해서는 제공하는 것이 없다는 사실을 기억해야 합니다.

서열 척도(ordinal scale)

측정에서 서열 척도를 가지고 척도를 구성하는 범주들은 명목척도에서처럼 분리된 이름을 가질 뿐만 아니라 크기의 측면에서 순서가 매겨집니다. 서열이라는 말에는 서열로 측정된 관찰들이 순위의 순서에 따라 배치되고 범주로 나뉜다는 뜻이 담겨 있습니다.
국어 시험의 성적에 따른 등수, 경주 말의 도착 순서, 패스트푸드 점의 큰 것 중간, 작은 것으로 나뉜 음료수 크기. 서열 척도를 가지고 연구자들은 두 개체들이 다른지, 차이의 방향은 어떠한지 등을 측정합니다. 하지만 서열 측정이 항상 두 개체들 사이의 차이 크기를 결정하게 해주지는 않습니다. 서열 척도는 관찰 결과들을 크기와 중요성 등에 따라 등급을 매기며 관찰 결과를 나열 순대대로 나열합니다.

등간 척도(interval scale)

등간 척도는 범주가 정확하게 같은 크기인 간격들의 연속을 형성하고 범주의 질서 잡힌 집합들로 구성됩니다. 같은 크기의 간격이라는 특징은 등간 척도에서 값들 사이의 거리를 계산할 수 있게 합니다. 예를 들어 3월 1일의 기온이 화씨 60도였고, 4월 1일의 기온이 화씨 80도라고 하면 우리는 30일간에 20도의 차이가 있다고 할 수 있습니다. 결국 등간 척도를 이용하여 우리는 관찰 결과의 크고 작읍을 결정할 수 있는 것입니다.
등간 척도는 0의 값을 가지고 있다는 것도 중요한 특징입니다. 하지만 0의 값은 ‘값이 없다’는 뜻이 아니라서 임의적인 0의 값이라고 합니다. 예를 들어 온도가 0이라고 하는 것은 ‘온도가 없다’는 의미가 아닙니다.

비율 척도(ratio scale)

비율 척도는 등간 척도의 모든 특징을 지니고 있지만 절대 0점을 가지고 있습니다. 비율 척도에서 0은 측정된 값이 없다는 것을 뜻합니다. 절대 0점은 척도에서 숫자들의 비율이 측정된 변수들을 위한 크기의 비율을 나타낸다는 점입니다. 예를 들어 길이, 시간, 질량 등과 같이 자연과학에서 사용되는 척도는 대부분 비율 척도입니다.